上周去楼下朋友家接我家娃，撞见她读四年级的儿子对着鸡兔同笼的题掉眼泪。
草稿纸上画满歪歪扭扭的兔子头，数到第三遍就数混了。
朋友在旁边急得声音都拔高了：”我跟你说了多少遍，假设全是鸡，腿数减完除以2就是兔子数！你怎么就记不住公式？”
小孩抽抽搭搭的，半天憋出来一句：”我就是不知道，为什么要除以2啊。”
我当时没急着搭话。就掏了两张便签纸。
拿笔在便签上算，10个头，假设全是鸡的话，总共该有20条腿。可题目说有32条腿，多出来12条。
我就在每个画好的鸡脑袋下面添两条腿，添一个就变成兔子，添6次，12条腿刚好用完。
小孩盯着便签纸愣了两秒。
突然拍桌子。
“哦！原来除以2是因为每只兔子比鸡多两条腿啊！”
朋友在旁边都看傻了。她之前给儿子讲了快半小时的公式，不如这半分钟的便签纸管用。
那些”一听就懂、一做就错”的题，根本不是粗心
很多家长和老师碰到小孩做错题，第一反应是”这孩子就是粗心”。
真不是。
很多人以为几何直观就是几何题里画辅助线，其实根本不是。它的核心是把所有抽象的、看不见的数量关系，转成你眼睛能看见、手能摸得着的图形。
你仔细翻他的草稿纸就会发现，他根本没把题目里的数量关系，在脑子里变成看得见的东西。所有的数字在他那都是飘着的：鸡是10个头，32条腿，公式是（总腿数-2×总头数）÷2=兔子数。他背得滚瓜烂熟，可一碰到题目换个说法——比如把鸡和兔换成三轮车和自行车，把腿数换成轮子数，他立马就懵。
因为他从来没把这些抽象的数字，和具体的形象对上号。
之前听三年级的教研课，老师讲路程问题，上来没念公式。先在黑板上点两个点，标上小明家、学校，拿个白粉笔头当小明，从家的位置往学校的位置滚，滚了3格，每格代表100米，滚了2分钟到学校。
问大家总共走了多远。
底下小孩齐刷刷举手，根本没人需要背”速度×时间=路程”。
可换到别的班上课，老师一上来就把三个公式抄在黑板上，让小孩抄三遍，背五遍，一碰到题里说”小明走了一半发现作业本忘带，回家拿了再去学校”，立马卡壳。
他脑子里没有那个来回折返的线啊。
你让他怎么算？
别把几何直观教成”按模板画图”
我这两年跑了几十节中小学数学公开课，发现一个特别奇怪的现象。
很多老师知道要培养几何直观，也会在课上让小孩画图。可教着教着就走偏了。
有次听六年级的课，老师讲分数应用题的几何直观，上来先给个标准模板：表示”甲比乙多1/3″，就先画一条等长的线段代表乙，平均分成3份，再画一条比乙多1份的线段代表甲。
全班同学照着模板画，画出来的线段整整齐齐，长度误差都不超过一毫米。交上来的作业全对。
我下课拉住一个小孩问，那如果甲比乙少1/3呢？
小孩当场卡壳。
“老师没教过这个模板啊。”
你看，这哪里是培养几何直观。这就是换了个方式让小孩背模板而已。
几何直观从来不是让小孩照着标准答案抄图。是让他能把脑子里那些乱糟糟的、绕来绕去的关系，倒腾成自己能看懂的线条、方块、小圆圈。哪怕画得歪歪扭扭，哪怕比例不对，只要他自己能对着图把关系说清楚，就比照着模板抄十张完美的图有用。
说实话，我看到那种全是整整齐齐模板画图的作业就头疼。
本来小孩要练的是”我能把抽象关系转成看得见的图形”的能力，结果被教成了”老师让画什么我就照着画什么”。那跟之前死记硬背公式有啥区别？
之前碰到个六年级的小孩，做绳子剪段的题：”一根绳子，第一次剪去1/3，第二次剪去剩下的1/2，还剩4米，问原来多长。”
他上来就套之前背的公式，列的式子错得离谱。
我拿了根他平时跳的跳绳，递给他。
让他自己折。先折掉三分之一，剩下的部分再折一半，最后剩下的那段拉出来，比了比长度——刚好是整根绳子的三分之一，对应4米，那原来的长度不就是12米？
他当时眼睛都亮了。
“原来我之前根本不知道’剩下的1/2’是哪段啊。”
你看，就这么点事，之前刷了半本题，都不如亲手折一下绳子明白。
在家就能练的几何直观，根本不用报奥数班
很多家长一听到”培养核心素养””思维能力”，第一反应是要报昂贵的奥数班，要刷难题。
真的。
根本不用。
平时在家练几何直观，全是零成本的事。
第一，别一上来就催小孩套公式。碰到不会的题，先找张草稿纸，随便画。画错了也没关系，歪歪扭扭的线也没关系。比如算打折的题，别上来就让他记”打八折就是乘0.8″，就拿个他平时买的奥特曼卡片，标价10块，打八折的话，就把10块钱的数值画成10个小圆圈，划掉两个，剩下的8个就是要付的钱。他立马就懂为什么是乘0.8，根本不用背。
第二，别嫌小孩草稿纸上的画乱。我见过太多家长，看到小孩草稿纸上画满了小人、线条、歪歪扭扭的方块，就骂”你能不能好好算题，画这些没用的干嘛”。
错了。
草稿纸上的乱涂乱画，从来不是不认真的证据。那些乱涂的东西，就是他在把抽象的数字往具象图形转的过程啊。我之前有个学生，平时考试草稿纸全是乱七八糟的线段图，一开始老师觉得他不认真，后来发现他每次碰到难的应用题，正确率比那些草稿纸上只有干巴巴数字的小孩高多了——因为他是真的把题目嚼碎了，用自己的方式看见关系了。
第三，平时生活里多攒点”看得见”的数学。比如买东西的时候，让他算一下满减和打折哪个划算，别光让他列式子，把满减的门槛、打折的比例，在纸上画成两个并排的长方形，哪个涂的颜色多，哪个就更贵，一眼就能看明白。比如爬楼梯的时候，让他算从1楼到5楼要爬几层，别上来就说”5减1等于4层”，就画个竖线，标上1、2、3、4、5，数一下中间有几个间隔，他以后就再也不会错把5层当5个间隔了。
上周那个对着鸡兔同笼掉眼泪的小孩，妈妈给我发微信，说他这次期中考试，最后那道难的相遇问题，他自己在草稿纸上画了两个小人对着走的线，算出来了。比班里好多上了两年奥数班的小孩分还高。
真的，哪有那么多天生的数学天才啊。
大多时候小孩学数学卡壳，根本不是他笨。是大人太着急把现成的公式塞给他，忘了让他自己睁着眼睛，把那些飘在半空的抽象关系，一点点落地，变成他能看见、能摸着的东西。